[Story 43] Dasar Analitika Bisnis | [Semester 1] Part 4 : Aplikasi Logika Proposisi

Subject : Dasar Analitika Bisnis

Theme : Dasar Analitika Bisnis | [Semester 1] Part 3 : Aplikasi Logika Proposisi

By : Mrs. Aruni Rahmaniar Purwanto, S. Si., M. Stat.

A. Aplikasi Logika Proposisi
Ex :
1. Diketahui proposisi-proposisi berikut :
    p : Hari ini hujan
    q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

Ans. :
p ∧ q
p ∨ q

~p

2. 
p : Hari ini hujan
q : Hari ini dingin

Maka, 
q ∨ ~p
~p ∧ q
~(~p)

3. Misalkan :
x : Anda berusia 17 tahun
y : Anda dapat memperoleh SIM

4. Nyatakan preposisi berikut ke dalam notasi implikasi :
a. Hanya jika Anda berusia 17 tahun, maka Anda dapat memperoleh SIM
b. Syarat cukup agar Anda dapat memperoleh SIM adalah Anda berusia 17 tahun
c. Syarat perlu agar Anda dapat memperoleh SIM adalah Anda berusia 17 tahun
d. Jika Anda tidak dapat memperoleh SIM, maka Anda tidak berusia 17 tahun

e. Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana Anda belum berusia 17 tahun

5. Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan 

Nyatakan proposisi berikut (asumsikan "Pemuda itu pendek" berarti "Pemuda itu tidak tinggi") ke dalam ekspetasi logika (notasi simbolik) :
a. Pemuda itu tinggi dan tampan
b. Pemuda itu tinggi, tapi tidak tampan
c. Pemuda itu tidak tinggi maupun tidak tampan
d. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
e. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
f. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

6. Tentukan konversi, invers, dan kontraposisi dari pernyataan "jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya."
Ans. :
Konversi : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.
Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya.
Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil.

7. Tentukan kontraposisi dari pernyataan :
a. Jika dia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara.
b. Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif.
c. Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.
d. Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan itu.
e.Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang.
f. Cukup hari hujan agar hari ini dingin.

Ans. : 
a. Jika ia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia tidak bersalah.
b. Jika 6 bilangan negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0.
c. Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan "Jika Iwan lulus ujian maka ia sudah belajar."

d. Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan "Jika ia mendapat pekerjaan itu maka ia tidak terlambat", sehingga kontraposisinya adalah "Jika ia terlambat maka ia tidak akan mendapat pekerjaan itu."

e. Pernyataan yang diberikan dapat ditulis kembali menjadi "Ada angin adalah syarat perlu agar layang-layang bisa terbang" yang dalam hal ini ekivalen dengan "Jika layang-layang bisa terbang maka hari ada angin." Kontraposisinya adalah "Jika hari tidak ada angin, maka layang-layang tidak bisa terbang."

f. Pernyataan yang diberikan dapat ditulis kembali menjadi "Hari hujan adalah syarat cukup agar hari ini dingin", yang dalam hal ini ekivalen dengan "Jika hari hujan maka hari ini dingin". Kontraposisinya adalah "Jika hari ini tidak dingin maka hari tidak hujan."

8. Buatlah tabel kebenaran kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi!
Ans. :

B. Lanjutan Pembahasan BAB Logika dan Pembuktian

Bahasan dalam Ekspresi Logika 
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan 

Nyatakan proposisi berikut (asumsikan "Pemuda itu pendek" berarti "Pemuda itu tidak tinggi") ke dalam ekspetasi logika (notasi simbolik) :

a. Pemuda itu tinggi dan tampan
b. Pemuda itu tinggi, tapi tidak tampan
c. Pemuda itu tidak tinggi maupun tidak tampan
d. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
e. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
f. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

Soal 1 :

Ubah ke dalam ekspresi logika!
a. "Anda tidak boleh naik roller coaster jika tinggi Anda <100 cm, kecuali usia Anda sudah ≥16 tahun."
b. "Saya akan ingat tentang kuliah besok hanya jika kamu mengirim SMS."
c. "Pantai akan erosi ketika ada badai."

     Salah satu langkah penting dalam argumentasi matematis adalah mengganti suatu pernyataan dengan pernyataan lain yang memiliki nilai kebenaran yang sama.

• Tautologi : proposisi yang selalu benar apapun pernyataannya.
• Kontradiksi : proposisi yang selalu bernilai salah apapun pernyataannya.
• Kontigensi : proposisi yang bukan tautologi maupun kontradiksi.

Contoh 1 : 

1. "Ali makan nasi atau Ali tidak makan nasi."
2. "Ali makan nasi dan Ali tidak makan nasi."

     Proposisi (1) disebut tautologi dan proposisi (2) disebut kontradiksi. Proposisi (1) selalu bernilai benar, tidak bergantung pada kebenaran apakah Ali benar-benar makan nasi atau tidak. Demikian juga dengan proposisi (2).

C. Tautologi

     Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.

Ex : 

• R ∨  (ㄱR)

• ㄱ (P ∧ Q)  (ㄱP) ∨ (ㄱQ)

Jika S →T suatu tautologi, kita tulis S => T

Jika S ↔︎T suatu tautologi, kita tulis S ↔︎ T

D. Kontradiksi

     Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.

Ex :

• R ∧ (ㄱR)

• ㄱ (ㄱP ∧ Q) (ㄱP) ∨ (ㄱQ)

E. Ekuivalensi

• 2 buah proposisi p dan q dikatakan ekuivalen (berekuivalen logic) jika p↔︎q adalah tautologi.

• Pernyataan p ekuivalen dengan pernyataan q  ditulis dengan p ≡ q.

Pernyataan yang ekuivalen (1) :

2 pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kasus yang mungkin disebut ekuivalensi secara logika. Notasi p ≡ q berarti p dan q ekuivalen secara logika.

Pernyataan ㄱ(P ∧ Q) dan (ㄱP) ∨ (ㄱQ) ekuivalen

Note : ㄱ(P ∧ Q) ↔︎ (ㄱP) ∨ (ㄱQ) selalu benar

Image : ekuivalensi secara logika

Ex :

Tunjukkan bahwa ㄱ(p V (ㄱp ∧ q)) dan ㄱp ∧ ㄱq adalah ekuivalen secara logika.

Solution :

1st method : menggunakan tabel kebenaran

2nd method : menggunakan sekumpulan ekuivalensi

Solution with 2nd method :

ㄱ(p V (ㄱp ∧ q)) ≡ ㄱp ∧ ㄱq         De Morgan's law

            ≡ ㄱp ∧ [ㄱ(ㄱp) ∨ ㄱq         De Morgan's law

            ≡ ㄱp ∧ (p ∨ ㄱq)

            ≡ (ㄱp ∧ p) ∨ (ㄱp ∧ㄱq)  

  Distributive property

            ≡ F ∨ (ㄱp ∧ㄱq)                             ㄱp ∧ p ≡ F

            ≡ (ㄱp ∧ㄱq) V F                     Sifat komutatif

            ≡ (ㄱp ∧ㄱq)

F. Predikat dan Kuantifier

     Pernyataan "x > 3" punya 2 bagian, yakni "x" sebagai subjek, dan "adalah lebih besar dari 3" sebagai predikat P.

Subjek dari suatu pernyataan dapat berjumlah >1.

Ex :

Q(x, y) : x-2y > x+y

G. Kuantifikasi Universal

     "P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan."

∀ x P(x)

Soal 2 :

Tentukan nilai kebenaran ∀ x (x² ≥ x) jika :

a. x bilangan real

b. x bilangan bulat

Ans. :

Untuk menunjukkan ∀ x P(x) salah, cukup dengan mencari 1 nilai x dalam domain, sehingga P(x) = salah. Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter example) dari pernyataan ∀ x P(x).

H. Kuantifikasi Eksistensi

"Ada nilai x dalam domain pembicaraan, sehingga P(x) bernilai benar."

∃ x P(x)

Soal 3 :

Tentukan nilai kebenaran dari ∃ x P(x) bila P(x) menyatakan "x² > 12" dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif ≤4 (tdk lbh dr 4).

I. Negasi

"Setiap mahasiswa dalam kelas ini telah mengambil kalkulus "

∀ x P(x)

Apakah negasi dari pernyataan ini?

"Ada seorang mahasiswa dalam kelas ini yamg belum mengambil kalkulus IA."

∃x ㄱ P(x)

Jadi, ㄱ∀ P(x) ≡ ∃x ㄱ P(x).

Soal 4 :

Carilah negasi dari pernyataan berikut :

"Ada politikus yang jujur."

"Semua orang Indonesia makan pecel lele."

Soal 5 :

Tentukan negasi dari : 

a. ∀x (x² > x)

b. ∃x (x² = 2)

J. Kuantifier Bersusun

∀x∀y(x+y) = (y+x)

berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y.

∀x∃y(x+y = 0)

berarti untuk setiap x ada nilai y, sehingga x+y=0

∀x∀y∀z(x+(y+z)) =  (x+y)+z

berarti untuk setiap x, y, dan z berlaku hukum asosiatif x + (y+z) = (x+y) + z

Soal 6 :

Artikan kalimat tersebut ke dalam bahasa Indonesia bila C(x) : "x memiliki komputer", 

F(x, y) : "x dan y berteman", dan domainnya adalah sebuah mahasiswa di kampus.

a.  ∀ x (C(x) V ∃y (C(y) ∧ F(x, y))

b. ∃x ∀y ∀z ((F x, y) ∧ F (x, z) ∧ (y ≠ z) →ㄱF (y, z))

Soal 7 :

Nyatakan negasi dari pernyataan ∀x∃y (xy = 1).