[Story 28] Dasar Analitika Bisnis | [Semester 1] Part 2 : Logika dan Proposisi

Mata kuliah : Dasar Analitika Bisnis

Tema : Dasar Analitika Bisnis | [Semester 1] Part 2 : Logika dan Proposisi

By : Mrs. Aruni Rahmaniar Purwanto, S. Si., M. Stat

A. Logika
• Logika secara etimologis berasal dari kata "logos" yang merupakan Bahasa Yunani yang memiliki arti "akal" atau "pikiran". 
• Logika banyak diartikan sebagai bidang pengetahuan yang mempelajari tentang bagaimana cara atau aturan berpikir yang benar. 
• Logika merupakan ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar.

Pentingnya belajar logika :
• Meningkatkan kemampuan bernalar.
• Dapat menyimpulkan dengan benar.

• Logika berhubungan dengan benar (true) dan salah (false).
• Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning) di dalam ilmu pengetahuan.
• Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
• Ilmu pengetahuan apapun dapat dipahami karena penalarannya sesuai logika manusia.

• Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence).

B. Penalaran
1. Penalaran deduktif 
     Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandalkan untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu.
Contoh :
Premis 1 : semua mahasiswa baru mengikuti Ospek.
Premis 2 : Wulandari adalah mahasiswa baru.
Kesimpulan : Wulandari mengikuti Ospek.

2. Penalaran induktif
     Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum. 
Contoh : 
Premis 1 : Ayam-1 berkembang biak dengan telur.
Premis 2 : Ayam-2 berkembang biak dengan telur.
Premis 3 : Ayam-3 berkembang biak dengan telur.
Premis 4 : Ayam-4 berkembang biak dengan telur.
.....
Premis 50 : Ayam-50 berkembang biak dengan telur.

Kesimpulan : semua ayam berkembang biak dengan telur.

Contoh Logika :
Budi adalah mahasiswa Sistem Informasi.
Semua mahasiswa Sistem Informasi rajin.
Ans. : Budi orang rajin.

Logika tidak harus memperhatikan isi kalimat. Jika diketahui bahwa 2 kalimat di atas, maka kalimat ke-3 harus benar.

Di dalam logika, kita hanya meninjau kalimat yang dapat ditentukan benar atau salah ---> proposisi

C. Proporsi / pernyataan 
• Proposisi : suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.
• Nilai benar / salah suatu proposisi disebut nilai kebenaran pernyataan tersebut.
• Nilai kebenaran tergantung pada realitas.

Proposisi 
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false) (benar = 1 / salah = 0), tetapi tidak keduanya.

Contoh : semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi.
a. 13 adalah bilangan ganjil.
b. Soekarno adalah alumnus UGM.
c.  1+1 = 2.
d. 8 ≥ akar kuadrat dari 8+8
e. Ada monyet di bulan.
f. Hari ini adalah hari Rabu.
g. Untuk sembarang bilangan bulat, n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan 0.
h. x+y = y+x untuk setiap x dan y bilangan real.
Contoh : semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi.
a. Jam berapa KA Argo Bromo Anggrek tiba di Stasiun Gambir? ---> kalimat tanya
b. Isilah gelas tersebut dengan air! ---> kalimat perintah
c. x+3 = 8 ---> kalimat terbuka (tergantung pada nilai x)
d. x > 3 ---> kalimat terbuka (tergantung pada nilai x)

Kesimpulan : proposisi adalah kalimat berita.

Contoh soal :

 "Gajah lebih besar daripada kucing."

     Apakah ini suatu pernyataan?
     Apakah ini suatu proposisi?
     Apa nilai kebenaran dari proposisi ini?

(Kira-kira apakah jawaban Anda?)

1."1089 < 101"

     Apakah ini suatu pernyataan? 
     Ans. : ya
     Apakah ini suatu proposisi? 
     Ans. : ya
     Apa nilai kebenaran dari proposisi ini? 
     Ans. : F

2. "y > 15"

     Apakah ini suatu pernyataan? 
     Ans. : ya
     Apakah ini suatu proposisi? 
     Ans. : tidak

Nilai kebenaran bergantung pada nilai y yang tidak spesifik. Pernyataan seperti ini kita sebut fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

3. "Bulan ini Februari dan 24 <  5"

     Apakah ini suatu pernyataan? 
     Ans. : ya
     Apakah ini suatu proposisi? 
     Ans. : ya
     Apa nilai kebenaran dari proposisi ini? 
     Ans. : F 

4. "Jangan tidur di kelas!"

     Apakah ini suatu pernyataan?
     Ans. : tidak
     Apakah ini suatu proposisi?

     Ans. : tidak

Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi. Perintah dan pertanyaan bukanlah proposisi.

5. "Jika gajah berwarna merah, mereka dapat berlindung di bawah pohon cabe."
     Apakah ini suatu pernyataan? 
     Ans. : ya
     Apakah ini suatu proposisi? 
     Ans. : ya
     Apa nilai kebenaran dari proposisi ini? 
     Ans. : F 

6. "x < y jika dan hanya jika y > x."

     Apakah ini suatu pernyataan? 
     Ans. : ya
     Apakah ini suatu proposisi? 
     Ans. : ya
     Apa nilai kebenaran dari proposisi ini? 
     Ans. : T

Contoh :

1. Bangkok adalah ibukota Thailand.

2. 9 adalah bilangan genap.

3. Badak itu memiliki gading.

4. 3 lebih tua daripada 5.

5. Setahun terdiri dari 5 minggu.

6. 8+4 = 12

7. Mengapa kamu menangis?

8. 3 > 5

9. Ambilkan aku kue itu!

10. Semoga kamu lekas sembuh!

D. Logika - Proposisi

• Pernyataan yang melibatkan peubah (variable) disebut predikat, kalimat terbuka, atau fungsi proposisi.

Ex : "x > 3", "y = x+10

• Predikat dengan quantifier.

Ex : ∀x P(x)

• Kalkulus proposisi : bidang logika yang    berkaitan dengan proposisi.

• Kalkulus predikat : bidang logika yang berkaitan dengan predikat dan quantifier.

• Untuk menotasikan proposisi, digunakan alfabet seperti p, q, r, s.

• Kita katakan bahwa nilai kebenaran sari suatu proposisi adalah benar (T) atau salah (F).

• Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia digital. 1 untuk nilai kebenaran T dan 0 untuk nilai kebenaran F.

Sebuah proposisi bisa berbentuk :

a. atomik (tunggal)

Ex : Pemuda itu tinggi.

b. majemuk (konektor : dan, atau, tidak)

Ex : 

- Pemuda itu tinggi dan tampan.

- Ia dihukum 5 tahun atau didenda 10 juta. 

- Hari ini tidak libur.

c. bersyarat

Ex : 

- Jika nilai UAS bagus maka nilai akhir A.

- Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.

- Hujan turun jika dan hanya kelembaban udara tinggi.

- Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda sudah menikah.  

Pernyataan majemuk :

• Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh : nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan.

• Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada 4 kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk. 

Konektif :

• Jika p dan q adalah sebuah proposisi, dapat dibentuk proposisi baru dengan menggunakan konektif. Macam-macam konektif ada : 

1. AND (Konjungsi) | Simbol : ∧

Notes : 

AND = TRUE & TRUE = TRUE, anothers = F

Contoh konjungsi (AND) :

P : Harimau adalah binatang buas.

Q : Malang adalah Ibukota Provinsi Jawa Timur.

P ∧ Q : Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah Ibukota Provinsi Jawa Timur. 

P ∧ Q = SALAH 

Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q.

2. OR (Disjungsi) | Simbol : ∨ 

Notes :

OR = FALSE & FALSE = FALSE, anothers = TRUE

Contoh disjungsi (V) :

P : Jono seorang mahasiswa.

Q : Mira seorang sarjana hukum.

P ∨ Q : Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum.

P ∨ Q = BENAR

3. XOR (Exclusive)| Simbol : ⊕

Notes :

TRUE & TRUE / FALSE & FALSE = FALSE

TRUE & FALSE / FALSE & TRUE = TRUE

Contoh Exclusive (XOR) :

P : Mahasiswa Telkom memilih peminatan bisnis.

Q : Mahasiswa Telkom memilih peminatan teknologi.

P ⊕ Q : Mahasiswa Telkom tidak diizinkan untuk memilih keduanya sekaligus (harus memilih salah satu).

4. NOT (NEGASI) | Simbol : ~ 

P : Jono seorang mahasiswa 

~ Jono bukan seorang mahasiswa. 

Manusia mempunyai ekor (F)

Manusia tidak memiliki ekor (T)

5. IMPLIKASI (PERNYATAAN BERSYARAT) | Simbol : →

Implikasi p → q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya.

Disebut juga proposisi kondisional dan berbentuk "jika P maka Q". 

Ex :

P : Budi seorang pebisnis (antiseden / premis / hipotesa).

Q : Mira seorang sarjana bisnis (konklusi / konsekuensi).

P→Q : Jika Budi seorang pebisnis, maka Mira seorang sarjana bisnis.

Implikasi p→q

• Jika p, maka q

• Jika p, q

• p mengakibatkan q

• p hanya jika q

• p cukup untuk q

• Syarat perlu untuk p adalah q

• q jika p

• q ketika p

• q diakibatkan p

• q setiap kali p 

• q perlu untuk p

• Syarat cukup untuk q adalah p

• A→B 

• A=>B

• B juga disebut syarat perlu untuk A

NB : Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya (salahnya) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa yang disyaratkan.

• A di atas disebut sebagai syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi (benar), maka B juga terjadi (benar). (Lihat baris pertama tabel kebenaran implikasi).

NB : Suatu syarat disebut syarat cukup bila terpenuhinya syarat tersebut mengakibatkan terjadinya apa yang disyaratkannya.

Contoh implikasi :

Implikasi

"Jika hari ini hari Jum'at, maka 2+3 > 7."

Kapan pernyataan berikut bernilai benar?

"Jika hari tidak hujan, maka saya akan pergi ke Lembang."

Image : Negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

6. IMPLIKASI GANDA (BIIMPLIKASI) | Simbol : ↔︎

Konversi, kontraposisi, dan invers :

• q → p disebut konversi dari p→q

• ㄱq →ㄱp disebut kontrapositif dari p→q

• ㄱp →ㄱq disebut invers dari p→q

Terdapat sebuah cara untuk menyatakan bikondisional p↔︎q dalam kata-kata, yaitu :

a. p jika dan hanya jika q

    (p if and only if q)

b. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q

    (p is necessary and sufficient for q)

c. Jika p maka q, dan sebaliknya 

    (if p then q, and conversely)

d. p iff q

LATIHAN

Buatlah tabel kebenaran dari proposisi berikut :

1. (p→q) ∧ (ㄱp→q) 

2.  (p↔︎q) ∨ (ㄱp↔︎q)

3. (ㄱp ↔︎ㄱq) ↔ (p↔︎q)

E. Ekuivalensi Logical

     Ekuivalensi logical adalah 2 proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekuivalen (logically equivalen). 

Ex : ~P ∨ Q ekuivalen dengan P→Q

~(P ∨ Q) ekuivalen dengan (~P) ∧ (~Q)

~(P ∧ Q) ekuivalen dengan (~P) ∨ (~Q)

Mari kita buktikan bersama di papan tulis!

F. Aksioma, Teorema, Corollary, Lemma

1. Aksioma

     Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi.

Contoh-contoh aksioma :

a. Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku : x+y = y+x (hukum komutatif penjumlahan).

b. Jika diberikan 2 buah titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui 2 buah titik tersebut.

2. Teorema

     Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari teorema adalah :

• Lemma : teorema sederhana yang digunakan untuk pembuktian teorema lain.

• Corolarry : teorema yang dapat dibentuk langsung dari teorema yang telah dibuktikan. Atau, corolarry adalah teorema yang mengikuti teorema lain.

Contoh-contoh teorema : 

a. Jika 2 sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.

b. Untuk semua bilangan real x, y, dan z, jika x ≤ y dan y ≤ z, maka x ≤ z (hukum transitif).

3. Corolarry

Contoh corolarry :

• Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut.

Corollary ini mengikuti teorema (a) di atas.

4. Lemma

Contoh lemma :

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n ⛝ 1 bilangan positif, atau n ⛝ 1 = 0.

Contoh lainnya (dalam kalkulus) :

• Teorema : |x| < a jika dan hanya jika -a < x < a, di mana a > 0

• Corollary : |x| ≤ a jika dan hanya jika -a ≤ x ≤ a, di mana a > 0