Mata kuliah : Dasar Analitika Bisnis
Tema : Dasar Analitika Bisnis | [Semester 1] Part 2 : Logika dan Proposisi
By : Mrs. Aruni Rahmaniar Purwanto, S. Si., M. Stat
A. Logika
• Logika secara etimologis berasal dari kata "logos" yang merupakan Bahasa Yunani yang memiliki arti "akal" atau "pikiran".
• Logika banyak diartikan sebagai bidang pengetahuan yang mempelajari tentang bagaimana cara atau aturan berpikir yang benar.
• Logika merupakan ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar.
Pentingnya belajar logika :
• Meningkatkan kemampuan bernalar.
• Dapat menyimpulkan dengan benar.
• Logika berhubungan dengan benar (true) dan salah (false).
• Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning) di dalam ilmu pengetahuan.
• Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
• Ilmu pengetahuan apapun dapat dipahami karena penalarannya sesuai logika manusia.
• Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence).
B. Penalaran
1. Penalaran deduktif
Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandalkan untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu.
Contoh :
Premis 1 : semua mahasiswa baru mengikuti Ospek.
Premis 2 : Wulandari adalah mahasiswa baru.
Kesimpulan : Wulandari mengikuti Ospek.
2. Penalaran induktif
Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.
Contoh :
Premis 1 : Ayam-1 berkembang biak dengan telur.
Premis 2 : Ayam-2 berkembang biak dengan telur.
Premis 3 : Ayam-3 berkembang biak dengan telur.
Premis 4 : Ayam-4 berkembang biak dengan telur.
.....
Premis 50 : Ayam-50 berkembang biak dengan telur.
Kesimpulan : semua ayam berkembang biak dengan telur.
Contoh logika :
Budi adalah mahasiswa Sistem Informasi.
Semua mahasiswa Sistem Informasi rajin.
Ans. : Budi orang rajin.
Logika tidak harus memperhatikan isi kalimat. Jika diketahui bahwa 2 kalimat di atas, maka kalimat ke-3 harus benar.
Di dalam logika, kita hanya meninjau kalimat yang dapat ditentukan benar atau salah ---> proposisi.
C. Proporsi / pernyataan
• Proposisi : suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.
• Nilai benar / salah suatu proposisi disebut nilai kebenaran pernyataan tersebut.
• Nilai kebenaran tergantung pada realitas.
Proposisi
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false) (benar = 1 / salah = 0), tetapi tidak keduanya.
Contoh : semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi.
a. 13 adalah bilangan ganjil.
b. Soekarno adalah alumnus UGM.
c. 1+1 = 2.
d. 8 ≥ akar kuadrat dari 8+8
e. Ada monyet di bulan.
f. Hari ini adalah hari Rabu.
g. Untuk sembarang bilangan bulat, n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan 0.
h. x+y = y+x untuk setiap x dan y bilangan real.
Contoh : semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi.
a. Jam berapa KA Argo Bromo Anggrek tiba di Stasiun Gambir? ---> kalimat tanya
b. Isilah gelas tersebut dengan air! ---> kalimat perintah
c. x+3 = 8 ---> kalimat terbuka (tergantung pada nilai x)
d. x > 3 ---> kalimat terbuka (tergantung pada nilai x)
Kesimpulan : proposisi adalah kalimat berita.
Contoh soal :
"Gajah lebih besar daripada kucing."
Apakah ini suatu pernyataan?
Apakah ini suatu proposisi?
Apa nilai kebenaran dari proposisi ini?
(Kira-kira apakah jawaban Anda?)
1."1089 < 101"
Apakah ini suatu pernyataan?
Ans. : ya
Apakah ini suatu proposisi?
Ans. : ya
Apa nilai kebenaran dari proposisi ini?
Ans. : F
2. "y > 15"
Apakah ini suatu pernyataan?
Ans. : ya
Apakah ini suatu proposisi?
Ans. : tidak
Nilai kebenaran bergantung pada nilai y yang tidak spesifik. Pernyataan seperti ini kita sebut fungsi proposisi atau kalimat terbuka.
3. "Bulan ini Februari dan 24 < 5"
Apakah ini suatu pernyataan?
Ans. : ya
Apakah ini suatu proposisi?
Ans. : ya
Apa nilai kebenaran dari proposisi ini?
Ans. : F
4. "Jangan tidur di kelas!"
Apakah ini suatu pernyataan?
Ans. : tidak
Apakah ini suatu proposisi?
Ans. : tidak
Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi. Perintah dan pertanyaan bukanlah proposisi.
5. "Jika gajah berwarna merah, mereka dapat berlindung di bawah pohon cabe."
Apakah ini suatu pernyataan?
Ans. : ya
Apakah ini suatu proposisi?
Ans. : ya
Apa nilai kebenaran dari proposisi ini?
Ans. : F
6. "x < y jika dan hanya jika y > x."
Apakah ini suatu pernyataan?
Ans. : ya
Apakah ini suatu proposisi?
Ans. : ya
Apa nilai kebenaran dari proposisi ini?
Ans. : T
Contoh :
1. Bangkok adalah ibukota Thailand.
2. 9 adalah bilangan genap.
3. Badak itu memiliki gading.
4. 3 lebih tua daripada 5.
5. Setahun terdiri dari 5 minggu.
6. 8+4 = 12
7. Mengapa kamu menangis?
8. 3 > 5
9. Ambilkan aku kue itu!
10. Semoga kamu lekas sembuh!
D. Logika - Proposisi
• Pernyataan yang melibatkan peubah (variable) disebut predikat, kalimat terbuka, atau fungsi proposisi.
Ex : "x > 3", "y = x+10
• Predikat dengan quantifier.
Ex : ∀x P(x)
• Kalkulus proposisi : bidang logika yang berkaitan dengan proposisi.
• Kalkulus predikat : bidang logika yang berkaitan dengan predikat dan quantifier.
• Untuk menotasikan proposisi, digunakan alfabet seperti p, q, r, s.
• Kita katakan bahwa nilai kebenaran sari suatu proposisi adalah benar (T) atau salah (F).
• Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia digital. 1 untuk nilai kebenaran T dan 0 untuk nilai kebenaran F.
Sebuah proposisi bisa berbentuk :
a. atomik (tunggal)
Ex : Pemuda itu tinggi.
b. majemuk (konektor : dan, atau, tidak)
Ex :
- Pemuda itu tinggi dan tampan.
- Ia dihukum 5 tahun atau didenda 10 juta.
- Hari ini tidak libur.
c. bersyarat
Ex :
- Jika nilai UAS bagus maka nilai akhir A.
- Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.
- Hujan turun jika dan hanya kelembaban udara tinggi.
- Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika
anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda sudah
menikah.
Pernyataan majemuk :
• Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh : nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan.
• Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada 4 kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk.
Konektif :
• Jika p dan q adalah sebuah proposisi, dapat dibentuk proposisi baru dengan menggunakan konektif. Macam-macam konektif ada :
1. AND (Konjungsi) | Simbol : ∧
Contoh konjungsi (AND) :
P : Harimau adalah binatang buas.
Q : Malang adalah Ibukota Provinsi Jawa Timur.
P ∧ Q : Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah Ibukota Provinsi Jawa Timur.
P ∧ Q = SALAH
Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitan antara p dan q.
2. OR (Disjungsi) | Simbol : V
Contoh disjungsi (V) :
P : Jono seorang mahasiswa.
Q : Mira seorang sarjana hukum.
P V Q : Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum.
P V Q = BENAR
3. XOR (Exclusive)| Simbol : ⊕
P : Mahasiswa Telkom memilih peminatan bisnis.
Q : Mahasiswa Telkom memilih peminatan teknologi.
P ⊕ Q : Mahasiswa Telkom tidak diizinkan untuk memilih keduanya sekaligus (harus memilih salah satu).
4. NOT (NEGASI) | Simbol : ~
P : Jono seorang mahasiswa
~ Jono bukan seorang mahasiswa.
Manusia mempunyai ekor (F)
Manusia tidak memiliki ekor (T)
5. IMPLIKASI (PERNYATAAN BERSYARAT) | Simbol : →
Implikasi p → q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya.
Disebut juga proposisi kondisional dan berbentuk "jika P maka Q".
Ex :
P : Budi seorang pebisnis (antiseden / premis / hipotesa).
Q : Mira seorang sarjana bisnis (konklusi / konsekuensi).
P→Q : Jika Budi seorang pebisnis, maka Mira seorang sarjana bisnis.
Implikasi p→q
• Jika p, maka q
• Jika p, q
• p mengakibatkan q
• p hanya jika q
• p cukup untuk q
• Syarat perlu untuk p adalah q
• q jika p
• q ketika p
• q diakibatkan p
• q setiap kali p
• q perlu untuk p
• Syarat cukup untuk q adalah p
• A→B
• A=>B
• B juga disebut syarat perlu untuk A
NB : Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya (salahnya) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa yang disyaratkan.
• A di atas disebut sebagai syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi (benar), maka B juga terjadi (benar). (Lihat baris pertama tabel kebenaran implikasi).
NB : Suatu syarat disebut syarat cukup bila terpenuhinya syarat tersebut mengakibatkan terjadinya apa yang disyaratkannya.
Contoh implikasi :
Implikasi
"Jika hari ini hari Jum'at, maka 2+3 > 7."
Kapan pernyataan berikut bernilai benar?
"Jika hari tidak hujan, maka saya akan pergi ke Lembang."
 |
| Image : Negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi |
6. IMPLIKASI GANDA (BIIMPLIKASI) | Simbol : ↔︎
Konversi, kontraposisi, dan invers :
• q → p disebut konversi dari p→q
• ㄱq →ㄱp disebut kontrapositif dari p→q
• ㄱp →ㄱq disebut invers dari p→q
Terdapat sebuah cara untuk menyatakan bikondisional p↔︎q dalam kata-kata, yaitu :a. p jika dan hanya jika q
(p if and only if q)
b. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q
(p is necessary and sufficient for q)
c. Jika p maka q, dan sebaliknya
(if p then q, and conversely)
d. p iff q
LATIHAN
Buatlah tabel kebenaran dari proposisi berikut :
1. (p→q) ∧ (ㄱp→q)
2. (p↔︎q) V (ㄱp↔︎q)
3. (ㄱp ↔︎ㄱq) ↔ (p↔︎q)
E. Ekuivalensi Logical
Ekuivalensi logical adalah 2 proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekuivalen (logically equivalen).
Ex : ~P V Q ekuivalen dengan P→Q
~(P V Q) ekuivalen dengan (~P) ∧ (~Q)
~(P ∧ Q) ekuivalen dengan (~P) V (~Q)
Mari kita buktikan bersama di papan tulis!
F. Aksioma, Teorema, Corollary, Lemma
1. Aksioma
Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi.
Contoh-contoh aksioma :
a. Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku : x+y = y+x (hukum komutatif penjumlahan).
b. Jika diberikan 2 buah titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui 2 buah titik tersebut.
2. Teorema
Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari teorema adalah :
• Lemma : teorema sederhana yang digunakan untuk pembuktian teorema lain.
• Corolarry : teorema yang dapat dibentuk langsung dari teorema yang telah dibuktikan. Atau, corolarry adalah teorema yang mengikuti teorema lain.
Contoh-contoh teorema :
a. Jika 2 sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.
b. Untuk semua bilangan real x, y, dan z, jika x ≤ y dan y ≤ z, maka x ≤ z (hukum transitif).
3. Corolarry
Contoh corolarry :
• Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut.
Corollary ini mengikuti teorema (a) di atas.
4. Lemma
Contoh lemma :
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n ⛝ 1 bilangan positif, atau n ⛝ 1 = 0.
Contoh lainnya (dalam kalkulus) :
• Teorema : |x| < a jika dan hanya jika -a < x < a, di mana a > 0
• Corollary : |x| ≤ a jika dan hanya jika -a ≤ x ≤ a, di mana a > 0
Comments
Post a Comment